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更新时间: 2026-07-21
矩阵正交对角化的步骤如下：
解特征方程 `det（A - λI） = 0` 来找到矩阵 `A` 的特征值 `λ`。
对每个特征值 `λ`，解线性方程组 `（A - λI）x = 0` 来找到对应的特征向量 `x`。
如果特征向量不是正交的，使用Schmidt正交化过程使其正交。
单位化特征向量
将每个正交的特征向量除以其模长，得到单位向量。
将所有单位特征向量作为列向量排列成一个矩阵 `P`。
对角矩阵的对角线元素是矩阵 `A` 的特征值，其他元素为0。
检查 `P` 是否是正交矩阵，即 `P^-1 = P^T`。
验证 `P^-1AP` 是否为对角矩阵。
需要注意的是，不是所有矩阵都可以正交对角化。一个矩阵可以对角化的充分必要条件是它有n个线性无关的特征向量，且对于每个特征值，其几何重数等于代数重数。对于实对称矩阵，总是可以对角化，并且可以正交对角化。
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