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更新时间: 2026-07-01
零点定理的证明可以通过构造辅助函数和闭区间套定理来进行。以下是零点定理的证明步骤：
令 （ g（x） = f（x） - C ），其中 （ C ） 是 （ A ） 和 （ B ） 之间的任意实数。则 （ g（x） ） 在闭区间 （[a, b]） 上连续。
不妨设 （ A 0 ），则 （ g（a） = f（a） - C 0 ）。由于 （ g（x） ） 在 （[a, b]） 上连续，根据介值定理，存在至少一点 （xi in （a, b）） 使得 （ g（xi） = 0 ）。
由 （ g（xi） = 0 ） 可知 （ f（xi） = C ）。因为 （xi in （a, b）） 所以 （ f（xi） ） 就是 （[a, b]） 内的零点。
以上步骤证明了零点定理，即在闭区间 （[a, b]） 上连续的函数 （ f（x） ），如果 （ f（a） ） 和 （ f（b） ） 异号，则存在至少一点 （xi in （a, b）） 使得 （ f（xi） = 0）。
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