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更新时间: 2025-07-02
在考研数学中，一些常用的反例有助于加深对概念和定理的理解。以下是一些常见的高数反例：
狄利克雷函数是一个经典的例子，用于说明函数在某点连续，但在其邻域内不一定连续，以及在某点可导，但在其邻域内不一定连续。
例如，函数 （f（x） = sin（frac{1}{x}））（当 （x
eq 0））在 （x = 0） 处没有定义，但在整个实数范围内是有界的，并且其导数在 （x = 0） 处不存在。
有些函数在全平面内可微，但在某一点（如原点）不连续，或者在该点偏导数存在但不可微。例如，函数 （f（x, y） = begin{cases}
frac{xy}{x^2 + y^2}, & （x, y）
eq （0, 0）
0, & （x, y） = （0, 0）
end{cases}） 在整个平面上可微，但在原点不连续。
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